函数与极限

映射与函数

映射

映射概念

逆映射与复合映射

函数

函数概念

函数的四种特性

有界性
- 上界：$ \exists K_1, f(x) \le K_1 $
- 下界：$ \exists K_2, f(x) \ge K_2 $
- 有界：$ \exists K, | f(x) | \le K $
- 无界
单调性
- 单调增加 $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $
- 单调减少
奇偶性
- 奇函数，关于原点对称 $ f(-x) = f(x) $
- 偶函数，关于 y 轴对称 $ f(-x) = -f(x) $
周期性 $ f(x + l) = f(x) $

反函数与复合函数

函数的四则运算

初等函数

基本初等函数

幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数

有限次运算后称为 初等函数

- 双曲正弦 $ sh x = \frac{e^x - e^{-x} }2 $ - 双曲余弦 $ ch x = \frac{e^x + e^{-x} }2 $ - 双曲正切 $ th x = \frac{sh x}{ch x} = \frac{e^x - e^{-x} }{e^x + e^{-x} } $

可证

$ sh(x \pm y) = shx chy \pm chx shy $
$ ch(x \pm y) = chx chy \pm shx shy$

进而可证

$ ch^2x - sh^2x = 1 $
$ sh2x = 2shx chx $
$ ch2x = ch^2x + sh^2x $

反双曲函数，都可通过自然对数函数来表示

反双曲正弦 $ arsh x $
反双曲余弦 $ arch x $
反双曲正切 $ arth x $

数列的极限

数列极限的定义

$ \lim \limits_{n \to \infty} x_n = \alpha \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N > 0, n > N \Rightarrow | x_n - \alpha | < \epsilon $

收敛数列的性质

极限唯一
数列有界
保号：$ \lim \limits_{n \to \infty} x_n > 0 \Rightarrow \exists N, n > N \Rightarrow x_n > 0 $
任一子数列收敛且极限不变

函数的极限

函数极限的定义

趋于有限值：$ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, 0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - A | < \epsilon $ 单侧极限：左极限、右极限极限存在 <=> 左、右极限存在且相等
趋于无穷大：$ \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists X > 0, | x | > X \Rightarrow | f(x) - A | < \epsilon $

#### 函数极限的性质

极限唯一
局部有界
局部保号
定义域数列收敛则数列值域收敛

无穷小与无穷大

函数具有极限的充要条件是函数 = 极限值 + 无穷小

## 极限运算法则

四则，与数列一样，$ \lim f(x) = A, \lim g(x) = B $，则
1. $ \lim [ f(x) \pm g(x) ] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm \B $
2. $ \lim [ f(x) \cdot g(x) ] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B $
3. $ B \not = 0 \Rightarrow \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac AB $
复合 $ \lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0, x \in \mathring U(x_0, \delta) \Rightarrow g(x) \not = u_0, \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = A $ 则 $ \lim \limits_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = A $

极限存在准则两个重要极限

夹逼准则
- 证明 $ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1 $
  1. 先证明 $ \lim \limits_{x \to 0} \cos x = 1 $
  2. 再证明 $ \sin x < x < \tan x $
单调有界数列必有极限
1. 证明 $ \lim \limits_{n \to \infty} (1 + \frac 1n)^n $
2. 函数左邻域单调有界则有左极限；
3. 函数右邻域单调有界则有右极限。
柯西极限存在准则/柯西收敛原理 $ {x_n} 收敛 \Rightleftarrow \forall \epsilon > 0 \exists N, m > N, n > N \Rightarrow |x_n - x_m| < \epsilon $
- 几何意义：数列收敛等价于足够远时任意两项距离任意小。

无穷小的比较

$ \alpha ~ \beta \Rightleftarrow \beta = \alpha + o(\alpha) $

$ \alpha ~ \tilde \alpha, \beta ~ \tilde \beta, \exists \lim \frac {\tilde \beta} {\tilde \alpha} \Rightarrow \lim \frac \beta \alpha = \lim \frac {\tilde \beta} {\tilde \alpha} $

函数的连续点与间断点

### 函数的连续性

两种表述

自变量变化趋于 0 时，函数值变化也趋于 0；
自变量趋于 x_0 时，函数值趋于 f(x_0)。

左连续、右连续

### 函数的间断点

三种情况

if 在 x_0 处没定义
elseif $ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) $ 不存在
elseif $ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \not = f(x_0) $

## 连续函数的运算与初等函数的连续性

四则运算
反函数 单调连续函数的反函数在对应区间上也单调连续。
复合函数
1. 设函数 y = f[g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数 y = f(u) 复合而成，$ \mathring U(x_0) \subset D_{f \circ g} $，若 $ \lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0 $，而函数 y = f(u) 在 $ u = u_0 $ 连续，则 $ \lim \limits_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = f(u_0) $。
2. 设函数 y = f[g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数 y = f(u) 复合而成，$ U(x_0) \subset D_{f \circ g} $，若函数 u = g(x) 在 $ x = x_0 $ 连续，且 $ g(x_0) = u_0 $，而函数 y = f(u) 在 $ u = u_0 $ 连续，则复合函数 y = f[g(x)] 在 $ x = x_0 $ 也连续。

一切初等函数在它们的定义域内都是连续的。

### 复合函数的极限与连续性总结

复合函数的极限运算法则：

$ \lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0, x \in \mathring U(x_0) \subset D_g $
$ \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = v_0, u \in \mathring U(u_0) \subset D_f $
推出 $ \lim \limits_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = v_0 $，前提是 $ x \in \mathring U(x_0) \subset D_{f \circ g} $

加入条件 f(u) 在 $ u_0 $ 处连续

$ \lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0, x \in \mathring U(x_0) \subset D_g $
$ \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = f(u_0), u \in U(u_0) \subset D_f $
推出 $ \lim \limits_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = f(u_0) $，前提是 $ x \in \mathring U(x_0) \subset D_{f \circ g} $

加入条件 g(x) 在 $ x_0 $ 处连续

$ \lim \limits_{x \to x_0} g(x) = g(x_0), x \in U(x_0) \subset D_g $
$ \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = f(u_0), u \in U(u_0) \subset D_f $
推出 $ \lim \limits_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = (f \circ g)(x_0) $ 即连续，前提是 $ x \in U(x_0) \subset D_{f \circ g} $

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。
介值定理 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 $ f(a) = A \not = B = f(b) $，则 $ \forall C \in (A, B) or (B, A), \exists \xi \in (a, b), f(\xi) = C $。
- 零点定理 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 $ f(a) \cdot f(b) < 0 $，则在 (a, b) 内至少有一点 $ \xi $，使 $ f(\xi) = 0 $。
- [a, b] 上连续的函数 f(x) 的值域为 [m, M]，其中 m, M 分别为 f(x) 在 [a, b] 上的最小值与最大值。
一致连续性定理 [a, b] 上，f(x) 连续则一致连续。
- 定义：设函数 f(x) 在区间 I 上有定义，$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 $，使得 $ \forall x_1, x_2 \in I ，当 |x_1 - x_2| < \delta 则 |f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon $，那么称 f(x) 在 I 上一致连续。